Aussagenlogik

Überblick:

Axiom e: Existenz
Axiom 1: Negation
Axiom 2: Konjunktion

Definition 3: Disjunktion
Definition 4: Implikation
Definition 5: Äquivalenz

Mathematiker gleichen Kindern, die nach jeder Antwort "und warum..." fragen. Dieses Spiel lässt sich unbegrenzt fortsetzen. Die Frage ist also, von wo aus wir die Mathematik aufbauen.

Axiome:

Mathematik soll logisch sein. Und da wir von jeder Begründung verlangen, dass sie logisch sein soll, drehen wir uns im Kreis, wenn wir die Logik begründen wollen: Wir können sie nicht logisch auf etwas anderem aufbauen, da wir sie dabei schon verwenden. Das legt nahe, mit der Logik zu beginnen. Da wir die elementaren Gesetze der Logik nicht logisch begründen können, legen wir sie als Axiome fest. Alle weiteren logischen Argumentationen, müssen sich anschließend aus diesen elementaren Gesetzen zusammensetzen lassen.

Bemerkung:

Da die elementaren Gesetze der Logik festgelegt werden müssen, ergeben sich verschiedene Möglichkeiten, die zu verschiedenen Logiken führen.

Definitionen:

Wenn wir die Begriffe der Logik einführen, so verwenden wir dazu wieder Begriffe, die noch nicht erklärt wurden. Auch dieses Spiel lässt sich ohne Ende fortsetzten. Man kann jedoch davon ausgehen, dass es bereits eine gewisse Vorstellung von Begriffen gibt, die genutzt werden kann (ohne diese Vorstellung könnte dieser Text nicht gelesen werden). Die Idee ist nun, einige Grundbegriffe zu erklären, die zu möglichst wenig Missverständnissen führen, um dann weitere Begriffe mit diesen Grundbegriffen eindeutig und unmissverständlich zu erklären. Diese neuen Begriffe und die Grundbegriffe können nun genutzt werden um weitere Begriffe zu erklären usw.. Dieses Erklären neuer Begriffe nennen wir Definieren.

Definition 0:

Eine Aussage ist eine Formulierung, die entweder wahr oder falsch ist.

Bemerkung:

Die elementare Aussagenlogik wird, da Formulierungen nur wahr oder falsch sein dürfen (anders als z.B. in der Fuzzylogik), auch zweiwertige Logik genannt. Eine Aussage kann also nicht wahr und gleichzeitig falsch sein (das sog. Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch), oder weder wahr noch falsch (das sog. Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten). So ist "Guten Tag", "Wie geht es ihnen" oder "Die Nacht ist schneller als ein Bierdeckel" (sinnlos) keine Aussage, aber auch "diese Behauptung ist falsch" ist keine Aussage, da diese Formulierung falsch ist, wenn man davon ausgeht, dass sie wahr ist und wahr, wenn man davon ausgeht, dass sie falsch ist (sie kann als Aussage aber nur wahr oder falsch sein). Das letzte Beispiel lässt erahnen, dass nicht immer unmittelbar zu erkennen ist, ob eine Formulierung eine Aussage ist oder nicht. Wir werden uns (abgesehen von Beispielen) jedoch in der elementaren Aussagenlogik nicht mehr um konkrete Formulierungen kümmern (anders als z.B. in der Prädikatenlogik), sondern nur Beziehungen zwischen Aussagen untersuchen (dargestellt durch sog. Junktoren, daher nennt man die Aussagenlogik auch Junktorenlogik) und dabei davon ausgehen, dass die gegebenen Aussagen entweder wahr oder falsch sind. Durch solche Beziehungen werden Aussagen zu neuen Aussagen verknüpft. Dass diese verknüpften Aussagen tatsächlich Aussagen sind (und nicht z.B. vom Typ "diese Behauptung ist falsch") liegt daran, dass sie sich rekursiv durch elementare Verknüpfungen zusammensetzen lassen, die selbst Aussagen zu Aussagen verknüpfen (vgl. Bemerkung nach Definition 2). Das gilt aber nur, wenn die Verknüpfungen aus endlich vielen Teilaussagen bestehen.

Natürlich kann man fragen, ob es überhaupt Aussagen gibt, die entweder "wahr" oder "falsch" sind. Um solchen philosophischen Spekulationen aus dem Weg zu gehen, legen wir die Existenz von Aussagen axiomatisch fest. (Im Gegensatz zu einer Definition geht es hier nicht um einen Begriff der erklärt wird, sondern um eine Behauptung, die, wäre sie kein Axiom, bewiesen werden müsste.)

Axiom e:

Es gibt (mindestens) eine Aussage.
Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch.

Beispiel:

Mit Hilfe dieses Axioms können wir auch gleich eine Aussage angeben, nämlich das Axiom selbst. Auch die Behauptung, das Axiom sei eine Aussage, ist eine Aussage.

Axiom 1:

Wenn A eine Aussage ist, so ist auch ¬A eine Aussage:
Die Aussage ¬A ist wahr, wenn A falsch ist
und falsch, wenn A wahr ist.

Definition 1:

¬A heißt Negation von A
¬A liest sich "nicht A"

Bemerkung:

Nach Axiom 0 und Axiom 1 existieren also sowohl wahre wie auch falsche Aussagen (ohne diese Existenz macht die ganze Aussagenlogik keinen Sinn).

Beispiel:

Die Aussage "Der Himmel ist grün" ist falsch und damit die Aussage "Der Himmel ist nicht grün" wahr. Die Aussage "Der Himmel ist blau" ist wahr und damit die Aussage "Der Himmel ist nicht blau" falsch.

Bemerkung:

Wann eine verknüpfte Aussage wahr oder falsch ist, wird oft in Form einer Wahrheitstafel dargestellt. Zur Vereinfachung schreiben wir für wahr nur noch w und für falsch f. Axiom 1 lässt sich dann auch so schreiben:

Axiom 1':

Wenn A eine Aussage ist, so ist auch ¬A eine Aussage:

A	¬A
f	w
w	f

Axiom 2:

Wenn A und B Aussagen sind, so ist auch A^B eine Aussage:

A	B	A^B
f	f	f
f	w	f
w	f	f
w	w	w

Definition 2:

A^B heißt Konjunktion
A^B liest sich "A und B"

Bemerkung:

Gemäß der Wahrheitstafeln sind ¬A und A^B tatsächlich Aussagen: In jedem möglichen Fall ist ¬A und A^B immer entweder wahr oder falsch.

Beispiel:

Die Aussage "Der Himmel ist grün und 45°C Fieber ist gesund" ist falsch, weil beide Teilaussagen falsch sind. Aber auch "Der Himmel ist grün und 45°C Fieber ist ungesund" bzw. "Der Himmel ist nicht grün und 45°C Fieber ist gesund" sind falsche Aussagen, da eine der Teilaussagen falsch ist. Allein "Der Himmel ist nicht grün und 45°C Fieber ist ungesund" ist eine wahre Aussage, da beide Teilaussagen wahr sind.

Bemerkung:

Axiom 1 und 2 zeigen, wie neue Aussagen konstruiert werden, nämlich dadurch, dass man in zusammengesetzten Aussagen die Teilaussagen durch zusammengesetzte Aussagen ersetzt. Auf diese Weise lassen sich, ausgehend von den einfachsten zusammengesetzten Aussagen der Negation und der Konjunktion (Axiom 1 und 2) alle Aussagen zusammensetzen, die in der Aussagenlogik betrachtet werden. Ein solches Verfahren nennt man Rekursion. Die folgende Definition gibt ein Beispiel für eine solche, aus Negation und Konjunktion rekursiv zusammengesetzte Aussage an (dabei helfen Klammern zu verdeutlichen, welche Aussagen aus welchen Teilaussagen bestehen):

Definition 3:

AvB steht für: ¬((¬A)^(¬B))
AvB heißt Disjunktion
AvB liest sich "A oder B"

Bemerkung:

Auch diese neu definierten Aussagen können verwendet werden um neue Aussagen zusammenzustellen, denn letztlich sind es nur Kurzschreibweisen - die Aussagen werden weiterhin nur durch Negation und Konjunktion erzeugt.

Beispiel:

Die Aussage "Der Himmel ist grün oder 45°C Fieber ist gesund" ist falsch, weil beide Teilaussagen falsch sind. "Der Himmel ist grün oder 45°C Fieber ist ungesund" bzw. "Der Himmel ist nicht grün oder 45°C Fieber ist gesund" sind wahre Aussagen, da eine der Teilaussagen wahr ist. Schließlich ist "Der Himmel ist nicht grün oder 45°C Fieber ist ungesund" eine wahre Aussage, da beide Teilaussagen wahr sind.

Man hätte auch sagen können: "Der Himmel ist grün oder 45°C Fieber ist gesund" ist falsch, denn "Der Himmel ist nicht grün und 45°C Fieber ist nicht gesund" ist wahr und damit die Negation falsch. Entsprechend ist die Negation von "Der Himmel ist nicht grün und 45°C Fieber ist nicht ungesund" bzw. "Der Himmel ist nicht nicht grün (also grün) und 45°C Fieber ist nicht gesund" wahr, wie auch die Negation von "Der Himmel ist grün und 45°C Fieber ist nicht ungesund".

Übung:

Wie sieht die Wahrheitstafel von AvB aus?

Definition 4:

A=>B steht für: (¬A)vB
A=>B heißt Implikation
A=>B liest sich: "aus A folgt B"

A wird als hinreichend für B bezeichnet
B wird als notwendig für A bezeichnet

Bemerkung:

Im allgemeinen Sprachgebrauch wird anhand von Argumenten auf eine These geschlossen. Dabei wird die Implikation (der "Schluss") meist nicht in der Form "aus A folgt B" formuliert. Wir sagen z.B. "Meine Hausaufgaben sind gemacht (Feierabend), ich kann Fußballspielen gehen." oder "Ich kann Fußballspielen gehen, weil meine Hausaufgaben gemacht sind (Feierabend ist)", aber nicht "Aus der Tatsache, dass meine Hausaufgaben gemacht sind (ich Feierabend habe) folgt, dass ich Fußballspielen gehen kann." Deshalb sind hier einige (idiomatisch angepasste) Formulierungen aufgelistet, die bei Implikationen oft verwendet werden:

wenn (falls) A, B
wenn (falls) A dann (so) B
A also (deshalb, darum, daher) B

oder umgekehrt:

B da (weil, sofern, falls, denn, schließlich) A

Beispiel:

Dass man Wahres aus Wahrem folgert leuchtet ein. Besonders ist hier jedoch, dass JEDE wahre Aussage aus JEDER wahren Aussage gefolgert werden kann, also etwa: "Aus der Tatsache, dass der Himmel nicht grün ist, folgt, dass 45°C Fieber ungesund ist." Das entspricht natürlich nicht unseren umgangssprachlichen Argumentationen. Andererseits war auch nichts anderes zu erwarten, da die Aussagenlogik ja keine Aussage über den konkreten Inhalt von Aussagen macht. Deshalb lässt sich auch keine Implikation in der umgangssprachlich gewohnten Weise definieren (alle wahren und alle falschen Aussagen sind aus Sicht der Aussagenlogik gleichwertig).

Dass man aus Falschem Wahres folgern kann, zeigen folgende Beispiele (*):
"Jede Aussage ist wahr, daraus folgt, dass Axiom e wahr ist."
"Weil alle Tiere Kiemen haben, hat auch der Fisch Kiemen."
Aber auch hier gilt allgemein: JEDE wahre und JEDE falsche Aussage lässt sich aus einer falschen Aussage folgern (also jede Aussage überhaupt):
"Jede Aussage ist wahr, daraus folgt, dass ¬(Axiom e) wahr ist."
"Weil alle Tiere Kiemen haben, hat auch die Katze Kiemen."
Hierin liegt der eigentliche Unterschied zwischen wahren und falschen Aussagen. Aus wahren Aussagen kann man nur wahre Aussagen folgern, aus falschen Aussagen jede Aussage.

A ist hinreichend für B, das heißt aus A lässt sich B folgern, aber A muss nicht unbedingt wahr sein um B folgern zu können. B ist notwendig für A, das heißt B muss wahr sein, denn nur dann besteht die Möglichkeit, dass A wahr ist. Ein konkretes Beispiel soll die Begriffe weiter verdeutlichen:
"Bei 45°C gerinnt das menschliche Eiweiß. Daraus folgt, dass 45°C Fieber ungesund ist."
Es mag auch andere Gründe geben, warum 45°C Fieber ungesund ist, aber die Begründung mit dem Eiweiß reicht aus, die Aussage ist also hinreichend. Dass 45°C Fieber ungesund ist, ist umgekehrt notwendig, damit die Aussage, bei 45°C gerinnt menschliches Eiweiß wahr sein kann. Dass 45°C Fieber ungesund ist, ist aber nicht hinreichend dafür, dass bei 45°C Fieber das Eiweiß gerinnt, da das Gesundheitsproblem auch andere Ursachen haben könnte.

Übung:

Wie sieht die Wahrheitstafel von A=>B aus?

Definition 5:

A<=>B steht für: (A=>B)^(B=>A)
A<=>B heißt Äquivalenz
A<=>B liest sich "A und B sind äquivalent"

Bemerkung:

Alle wahren Aussagen sind äquivalent und
alle falsche Aussagen sind äquivalent.
Wahre und falsche Aussagen sind nicht äquivalent.

(Dass die aussagenlogische Äquivalenz tatsächlich eine Äquivalenzrelation gemäß der Forderung einer transitiv, reflexiv und symmetrischen Relation ist (der Begriff der Relation wird unter "Mengenlehre" erklärt), geht aus den nachfolgenden Sätzen 18, 07 und 08 hervor.)

Gemäß der Aussagenlogik sind viele Beispiele von Implikationen auch Äquivalenzen, nämlich immer dann, wenn aus etwas Wahrem etwas Wahres gefolgert wird, oder beim Widerspruchsbeweis etwas Falsches aus etwas Falschem. Eine Implikation, die keine Äquivalenz ist, ergibt sich nur dann, wenn aus etwas Falschem etwas Wahres gefolgert wird. (siehe *: "Weil alle Tiere Kiemen haben, hat auch der Fisch Kiemen" ist eine korrekte Schlussfolgerung [auch wenn das Argument "alle Tiere haben Kiemen" falsch ist]. "Der Fisch hat Kiemen deshalb haben alle Tiere Kiemen" ist dagegen falsch, der Schluss ist ein sog. Trugschluss.)

Übung:

Wie sieht die Wahrheitstafel von A<=>B aus? Was fällt auf?

Konvention:

Mit Hilfe der Äquivalenz lassen sich Definitionen formulieren. Werden Objekte mit B benannt, wenn eine Aussage A wahr ist und nicht mit B benannt, wenn die Aussage A falsch ist, so kann man sagen: Ein Objekt heißt B <=> A ist eine wahre Aussage.
Um zu verdeutlichen, welcher Begriff definiert wird, wird an der Seite des Äquivalenzsymbols, auf der der zu definierende Begriff steht, ein Doppelpunkt gesetzt. Definition 4 lässt sich also auch so schreiben:
(A=>B) :<=> ((¬A)vB)

A^B wird manchmal auch Produkt und AvB Summe von A und B genannt. Bei dem Produkt wird das Zeichen ^ oft weggelassen. Die Begriffe Produkt und Summe erinnern an die Begriffe aus der Algebra und tatsächlich gelten z.T. ähnliche "Rechengesetze", z.B. Satz 1, 2, 3, 4, 6, 7 und 8 (siehe weiter unten) Ähnlich wie in der Algebra kann man sich durch Konventionen einige Klammern sparen:
Negation kommt vor Produkt kommt vor Summe kommt vor Implikation oder Äquivalenz.

Definition 6:

Ein Satz ist eine wahre Aussage.

Bemerkung:

Mit Hilfe von Wahrheitstafeln zeigt man leicht, dass die folgenden Aussagen (unabhängig von den Teilaussagen A, B und C) wahr, also Sätze sind. Sind Aussagen nur für bestimmte Teilaussagen wahr, so gilt auch der Satz nur für diese Teilaussagen. Es ist also wichtig anzugeben, unter welchen Voraussetzungen ein Satz gilt. Unter diesen Voraussetzungen muss dann aber gezeigt werden, dass der Satz wahr ist - Beispiele genügen also nur, wenn auch bewiesen werden kann, dass es keine anderen Beispiele gibt, bei denen der Satz falsch ist (solche Beispiele nennt man Gegenbeispiele). Sind bei einem Satz keine Voraussetzungen angegeben, so muss gezeigt werden, dass der Satz immer wahr ist. (Eine zusammengesetzte Aussage, die unabhängig von ihren Teilaussagen immer wahr ist, heißt allgemeingültig und wird Tautologie genannt. Eine zusammengesetzte Aussage, für die eine oder mehrere Teilaussagen existieren, so dass die zusammengesetzte Aussage wahr ist, heißt erfüllbar. Eine zusammengesetzte Aussage, die unabhängig von ihren Teilaussagen immer falsch ist, heißt unerfüllbar oder kontradiktorisch und wird Antinomie genannt.).

Der Begriff "zusammengesetzte Aussage" in der oben gebrauchten Form ist noch nicht ausgereift. Eine Aussage muss entweder wahr oder falsch sein. Eine "zusammengesetzte Aussage" AvB ist aber nur für konkrete A und B wahr oder falsch, betrachtet man A und B dagegen als Variablen, so ist AvB keine Aussage, denn AvB kann sowohl wahr, wie auch falsch sein. Diese wichtige Unterscheidung wird in der Prädikatenlogik nachgeholt, wenn der Begriff der Aussageform eingeführt wird. Bis dahin sind A, B, C, etc. konkrete Aussagen und keine Variablen. (Auch in der Prädikatenlogik sind Sätze wahre Aussagen. Fasst man A, B, C, etc. als Variablen auf, so werden die Aussageformen mit Hilfe von Quantoren in Aussagen umgewandelt. Satz 01 lautet in dieser Formulierung

A,B: AB<=>BA (für alle Aussagen A und B gilt, dass "A und zugleich B" äquivalent ist zu "B und zugleich A"). A und B sind hier zwar Variablen, diese werden aber durch den Allquantor "gebunden", sodass trotzdem eine Aussage vorliegt. Mehr dazu in der Prädikatenlogik)

Kommutativgesetze

Satz 01:
Satz 02:

Assoziativgesetze

Satz 03:
Satz 04:

Distributivgesetze

Satz 05:
Satz 06:

Satz 07
Reflexivität:

Satz 08
Symmetrie:

Satz 09
doppelten Verneinung:

Satz 10
Widerspruch:

Satz 11
ausgeschlossene Dritte:

Satz 12:

Satz 13:

Satz 14:

Satz 15:

De-Morgan-Gesetze

Satz 16:
Satz 17:

Satz 18
Beweiskette oder Transitivität:

Satz 19:

Satz 20
Kontraposition:

Satz 21
Modus Ponens:

Satz 22
Modus Tollens:

Satz 22
Dilemma:

  AB <=> BA
  AvB <=> BvA

  A(BC) <=> (AB)C
  Av(BvC) <=> (AvB)vC

  Av(BC) <=> (AvB)(AvC)
  A(BvC) <=> ABvAC

  A<=>A

  (A<=>B)<=>(B<=>A)

  ¬¬A<=>A

  ¬(A¬A)

  A v ¬A

  AvA <=> A

  AA <=> A

  AB => A

  A => AvB

  ¬(AvB) <=> ¬A¬B
  ¬(AB) <=> ¬Av¬B

  (A=>B)(B=>C)=>(A=>C)

  (A=>B)(A=>C)<=>(A=>BC)

  (A=>B)<=>(¬B=>¬A)

  (A=>B)A=>B

  (A=>B)¬B=>¬A

  (AvB)(A=>C)(B=>C)=>C

Bemerkung:

In dem Beispiel nach Definition 4 wurde darauf hingewiesen, dass jede wahre Aussage aus jeder anderen wahren Aussage folgt. Sind also zwei wahre Aussagen gegeben, so ist die Folgerung von einer wahren Aussage auf die andere korrekt. Bei einem konkreten Beweis wissen wir jedoch nicht, ob die zu beweisende Aussage wahr ist (deshalb beweisen wir sie ja). Wenn wir aber wissen, dass eine Folgerung von A nach B richtig ist und dass auch die Aussage A wahr ist, so wissen wir nach Satz 21, dass auch Aussage B wahr ist. Wenn wir wissen, dass zwei beliebige Aussagen wahr sind, so können wir die eine aus der anderen folgern. Da wir aber üblicherweise bei Argumentationen ja gerade zeigen wollen, dass eine Aussage wahr ist, müssen wir unter anderem zeigen, dass die Argumentation richtig ist, und das ist, wie im Beispiel nach Definition 4, nicht immer offensichtlich. Wollen wir zeigen, dass eine Aussage falsch ist, brauchen wir nach Satz 22 nur in richtiger Weise eine falsche Aussage zu folgern. Das ist die Idee des Widerspruchsbeweises: Wenn am Ende einer richtig argumentierten Folgerungskette eine Aussage als falsch erkannt wird, so sind gemäß Satz 18 und Satz 22 alle vorangegangenen Aussagen falsch (natürlich sind nur die Aussagen falsch, aus denen geschlossen wird, nicht die Einzelaussagen, aus denen die hinreichenden Aussagen bestehen; z.B. folgt aus "Der Himmel ist blau und Kühe fliegen", dass "Kühe fliegen", was falsch ist, also ist die Aussage "Der Himmel ist blau und Kühe fliegen" auch falsch, aber die Einzelaussage "Der Himmel ist blau" kann trotzdem richtig sein). Beginnt man dagegen mit einer wahren Aussage, so sind nach Satz 18 und Satz 21 alle sukzessiv korrekt geschlossenen Aussagen wahr.

Aus Satz 03 und 04 folgt übrigens, dass auch Formulierungen wie ABCD... und AvBvCvDv... Sinn machen.

Definition 7:

ABCD... :<=> A(B(C(D...)))
AvBvCvDv... :<=> Av(Bv(Cv(Dv...)))

Bemerkung:

Durch die Verwendung von Wahrheitstafeln lassen sich für alle aus endlich vielen Aussagen zusammengesetzte Aussagen in endlich vielen Schritten überprüfen, ob die Aussagen erfüllbar sind, ob sie darüber hinaus auch Sätze sind, oder ob sie kontradiktorisch sind. Das Überprüfen gelingt jedoch in vielen Fällen durch Verwenden auch anderer bereits bekannter Sätze schneller.

Die Sätze zeigen, dass verschiedene zusammengesetzte Aussagen äquivalent sind. Man kann nun versuchen, möglichst einfache zusammengesetzte Aussagen zu finden, die zu einer gegebenen zusammengesetzten Aussage äquivalent sind. In diesem Zusammenhang werden oft Normalformen verwendet, das sind zusammengesetzte Aussagen, die eine bestimmte Struktur haben, z.B. nur bestimmte Verknüpfungen benötigen oder keine verschachtelten Klammerungen enthalten.

Übung:

Beweise die Sätze 1 bis 22 mit Wahrheitstafeln.
Suche schnellere Wege, die Sätze zu beweisen.

Zeige, dass die Aussagen
AvB => AB v A¬B v ¬AB und
(PvRS=>Q¬T)(AB¬Bv¬A¬ACA) => GD¬(AK=>(C¬HvD))v((D<=>A)=>¬EvF)IJ
allgemeingültig sind.

Finde für die folgenden Aussagen äquivalente Aussagen, in denen A höchstens einmal vorkommt:
(B=>(C=>A))=>A
¬A=>B¬(CA)

Zeige, dass die Aussagen
(A=>B)=>(B=>A), (A=>B)=>(¬A=>¬B) und (¬A=>¬B)=>(A=>B)
nicht allgemeingültig sind.

Bemerkung:

Die Annahmen (A=>B)=>(B=>A), (A=>B)=>(¬A=>¬B) und (¬A=>¬B)=>(A=>B) tauchen in vielen alltäglichen Argumentationen auf und auch mathematische Neulinge fallen immer wieder auf diese nicht allgemeingültigen Aussagen herein. Man nennt jede dieser Aussagen (die über die Kontraposition in Beziehung zueinander stehen) einen "falschen Umkehrschluss". Gemeinsam ist all diesen Argumentationen, dass naiv von dem Argumentationsziel auf die Argumentationsbasis geschlossen wird:

Ein logisch korrekter Schluss, der zu einer wahren Aussage führt, kann trotzdem auf einer falschen Annahme beruhen (vgl. die Bemerkung zu Definition 5 und die Beispiele *). Ein Beweis, bei dem jeder logische Schluss richtig, alle Zwischenergebnisse wahr und auch das Ergebnis wahr ist, kann trotzdem auf einer falschen Annahme beruhen.

Statt dem falschen Umkehrschluss ist die sog. Kontraposition (Satz 20) wahr (vgl. Übung).

Beispiel:

"Falsche Ernährung macht krank" mag stimmen, aber "Wer krank ist ernährt sich falsch" folgt nicht daraus (viele Atombombenopfer aus Hiroshima starben an Krebs, obwohl sie sich nicht unbedingt falsch ernährten). Auch "Wer sich gesund ernährt bleibt gesund" folgt nicht daraus (die genannten Hiroshimaopfer blieben nicht gesund). Und aus "Wer sich gesund ernährt bleibt gesund" folgt nicht "Falsche Ernährung macht krank" (es folgt nur hier, da die hinreichende Aussage falsch ist).

Aber aus "Falsche Ernährung macht krank" folgt "Wer gesund bleibt, ernährt sich nicht falsch". Diese Aussagen sind sogar äquivalent.

Übung:

Welche der folgenden Aussagen ist wahr:

Wenn es regnet, wird die Straße nass, also ist eine trockene Straße ein Zeichen dafür, dass es nicht regnet.
Wenn die Straße trocken ist, regnet es nicht, also regnet es, wenn die Straße nass ist.

Bemerkung:

Bisher haben wir in der Aussagenlogik ein System betrachtet, das eine logische Argumentation formal beschreibt. Das System lässt sich aber auch unabhängig von seiner Interpretation als "Logik" betrachten. Tatsächlich haben wir in den Axiomen und Definitionen nur erklärt, wie man rekursiv Zeichenketten bildet und wie man entsprechend rekursiv anhand von Wahrheitstafeln für alle diese Zeichenketten bestimmen kann ob sie wahre oder falsche Aussagen sind. Im Prinzip kann man sich auf diese Weise, z.B. mit Hilfe eines Computers, nach und nach alle wahren und falschen Aussagen konstruieren. Betrachtet man Logik als Sprache, so entsprechen diese Bildungsgesetze für Zeichenketten der Syntax, ihre Interpretation (die hier anhand von Beispielen erfolgte) der Semantik.

Bemerkung:

Die Junktoren "nicht" und "und" wurden axiomatisch eingeführt. Alle anderen Junktoren waren anschließend nichts weiter als Verknüpfungen dieser Junktoren. Man nennt ein solches Junktorenpaar, aus denen sich alle Aussagen der Aussagenlogik zusammensetzen lassen auch Basisjunktoren oder Basis. Diese Basis liegt aber keineswegs fest. Man hätte auch, wie z.B. Gottlob Frege (1848-1925, Mathematiker und Begründer der modernen Logik), die Junktoren ¬ und => als Basisjunktoren nehmen können (sog. Frege-Basis). AB definiert man als ¬(A=>¬B), die anderen Junktoren wie bisher.

Da für eine wahre Aussage AA, AvA, A=>A und A<=>A wahr sind, lässt sich mit diesen Junktoren ¬A nicht aussagen. Man kann mit diesen Junktoren alleine also keine Basis bilden.

Übung:

Zeige, dass die Junktoren ¬ und v eine Basis sind.
Zeige, dass die Junktoren ¬ und <=> keine Basis sind.

Schluss:

Die Aussagenlogik ist, wie auch alle anderen Logiken, konstruiert und es besteht vorerst keine Notwendigkeit, dass unsere Welt diese oder eine andere Logik erfüllen muss - nicht einmal die messtechnisch erfassbare Welt der Naturwissenschaften. Dennoch basieren die verwendeten Strukturen auf einem pragmatischen Ansatz: Sie haben sich oft praktisch bewährt. Das ist natürlich kein Garant für eine möglicherweise sogar metaphysische Relevanz dieser Konstrukte. Aus diesem Grunde sind auch die Begriffe "wahr" und "falsch" nicht unproblematisch. Sich über "Wahrheit" Gedanken zu machen liegt in der Natur des Menschen, er muss sich nur bewusst sein, dass er mit "Logik", wie auch sonst im Leben, immer mit eigenen Modellen von "Wahrheit" arbeitet, die "der" Wahrheit entsprechen können, aber nicht müssen.

Hier geht es weiter mit der Prädikatenlogik...