Axiom 3: Aussageform
Exkurs: Sprache
Axiom 4: Generalisator
Definition 8: Partikulator
Axiom 5: Grundgesetz
Die Prädikatenlogik ist eine Erweiterung der Aussagenlogik. Alle Axiome, Regeln, Definitionen und Notationen bleiben erhalten. Hinzu kommen lediglich Unterteilungen von Aussagen in Subjekt und Prädikat, Aussageformen und Quantoren.
In der Aussagenlogik konnten Schlussfolgerungen wie "Alle Menschen bestehen aus Zellen" und "Ich bin ein Mensch" => "Ich bestehe aus Zellen" nur als AB=>C dargestellt werden. Hieraus ist aber noch nicht ersichtlich, dass die Schlussfolgerung eine wahre Aussage ist. In der Prädikatenlogik können auch solche Schlüsse untersucht werden.
Da uns (abgesehen von einem nebulösen Begriff) noch keine Mengenlehre (und damit kein Funktionenbegriff) zugrunde liegt, können wir Aussageformen nicht einfach als Funktionen mit einer zweielementrigen Wertemenge ("wahr" und "falsch") definieren. Umgekehrt benötigen wir in der Mengenlehre das Aussonderungsaxiom, in dem Aussageformen vorkommen. Wir begnügen uns daher mit einem Axiom und holen eine elegantere Beschreibung der Aussageform als Funktion in der Mengenlehre nach.
Es gibt Formulierungen mit folgenden Eigenschaften:
1. Sie sagen etwas aus
über unbestimmte Elemente von Mengen.
2. Ersetzt man alle unbestimmten Elemente
durch beliebige konkrete Elemente der Mengen,
so erhält man immer eine Aussage.
Eine Formulierung mit den oben genannten Eigenschaften 1 und 2 heißt Aussageform.
"Der Himmel ist grün." Das Subjekt ist der Himmel und das Prädikat sagt aus, dass das Subjekt grün ist. Wir können bei gleichem Prädikat das Subjekt ändern: "Der Schuh ist grün" - oder bei gleichem Subjekt das Prädikat: "Der Himmel ist groß". Allgemein haben wir die Struktur x ist P. Wenn wir nun x als Variable ansehen, so haben wir eine Aussageform f(x), in diesem Fall: x ist grün. Sie wird zu einer wahren oder falschen Aussage, je nachdem was eingesetzt wird: f(Himmel)=falsch und f(Smaragd)=wahr. Betrachten wir ein anderes Beispiel:
"Der Himmel ist grün und 45°C Fieber ist gesund." Hier werden zwei Aussagen durch den Junktor "und" zu einer Aussage verbunden. Die Aussageform f(x,y) mit der Struktur (x ist P) und (y ist Q) wird zu unserem Beispiel, wenn x der Himmel, y die 45°C Fieber, P das Prädikat "grün sein" und Q das Prädikat "gesund sein" ist. Entsprechend ergibt sich "Wenn es regnet, wird die Straße nass, also ist eine trockene Straße ein Zeichen dafür, dass es nicht regnet.", wenn man in die allgemeingültige Aussageform f(x) = ((A => (x ist B)) => ((x ist ¬B) => ¬A)) mit A="es regnet" und B="trocken sein" für x die Straße einsetzt. Man kann natürlich z.B. auch die Aussage A als Variable verstehen. Die Aussageform f(A,x) hat auch für A="Schnee ist gelb" oder für A="Schnee ist weiß" ("Schnee" ist innerhalb von A das Subjekt und die Farbe das Prädikat) den Wert "wahr", auch wenn nicht ersichtlich ist, was die Farbe von Schnee damit zu tun hat, ob die Straße nass oder trocken ist, denn die Aussageform f(A,x) ist allgemeingültig (Kontraposition).
Indem Prädikate etwas über Subjekte aussagen, können sie auch Beziehungen zwischen Subjekten herstellen: "Alexander ist größer als Peter." Über Alexander wird ausgesagt, dass er größer ist als Peter. Über Peter wird ausgesagt, dass Alexander größer ist als er.
Die Logik selbst ist ebenfalls eine Art Sprache. Sie ist, wie beispielsweise auch jede Programmiersprache, eine Kunstsprache. Kunstsprachen sind Sprachen, die nie als erste Sprache erworben werden, sondern die mit Hilfe einer anderen Sprache, der natürlichen Sprache, erlernt werden. Die natürliche Sprache, die wir als Kleinkinder intuitiv gelernt haben, ist sehr viel umfangreicher und vielseitiger anwendbar als jede Kunstsprache. Der Vorteil einer Kunstsprache (wie z.B. der Logik) ist jedoch, dass sie an bestimmte Aufgaben angepasst ist. Sie hilft Missverständnisse zu vermeiden und stellt die für ihre Anwendung wesentlichen Aspekte deutlicher heraus als eine natürliche Sprache, da ihre Begriffe in einer natürlichen Sprache möglichst genau erklärt werden (ist die Kunstsprache schon zum Teil entwickelt, kann sie ebenfalls genutzt werden, um neue Begriffe der Kunstsprache zu definieren). Die Begriffe sind zudem oft Zusammenfassungen komplizierter Zusammenhänge und ermöglichen auch dadurch eine knappere und damit übersichtlichere Ausdrucksweise, die das Arbeiten erleichtert. Ob eine umgangssprachliche Argumentation logisch ist, ist am leichtesten zu beurteilen, wenn man sie in die Sprache der Logik übersetzt.
Jede Sprache ist ein Kode zur Übermittlung von Information. Die Information selbst ist der semantische Anteil der Sprache, die Regeln und Ausdrucksweisen der speziellen Sprache ist die Syntax. In der Logik bieten diese beiden Aspekte von Sprache jeweils verschiedene Zugänge zur Logik. Der semantische Zugang klärt die Bedeutung der Begriffe und stellt den Zusammenhang zwischen dem, was wir "logisches Denken" nennen und der Sprache der Logik her. Der syntaktische Zugang klärt, wie logische Ketten korrekt gebildet werden können und zu welcher Klasse sie gehören ("wahr" oder "falsch"), ohne dass eine Interpretation erfolgen muss.
In einem ausführlicheren Kurs empfiehlt es sich, diese Zugänge getrennt zu verfolgen. Der hier eingeschlagene Weg ist ein Kompromiss. Begriffe wie "oder", "daraus folgt" oder "äquivalent" wurden als Verkettungen der Basisjunktoren "nicht" und "und" definiert, ohne, dass dabei ihre semantische Bedeutung berücksichtigt wurde. Die semantische Bedeutung des Sprachsystems wurde in Bemerkungen und Beispielen hervorgehoben. Man hätte die Logik auch ohne diesen semantischen Aspekt entwickeln können, nur wäre dabei nicht klar geworden, warum man diesen Formalismus "Logik" nennt.
Ist f(x) eine Aussageform, die nur von x abhängt,
so ist
x f(x) eine Aussage:Die Aussage
x f(x) ist wahr,wenn f(x) allgemeingültig ist.
Die Aussage
x f(x) ist falsch,wenn f(x) nicht allgemeingültig ist.
Ist f eine Aussageform,
die neben x noch weitere Variablen enthält,
so ist
x f eine Aussageform.Ersetzt man alle Variablen außer x von f durch Subjekte
und ist f dann allgemeingültig
so ist
x f nach Ersetzung durch diese Subjekte wahr.Ersetzt man alle Variablen außer x von f durch Subjekte
und ist f dann nicht allgemeingültig
so ist
x f nach Ersetzung durch diese Subjekte falsch.
Das Symbol
heißt Generalisator oder Allquantorx f(x) liest sich "Für alle x gilt f(x)"
x f(x) :<=> ¬(x (¬f(x)))
Das Symbol
heißt Partikulator oder Existenzquantor x f(x) liest sich "Es existiert (mindestens) ein x, sodass f(x) gilt"
x f(x,...) eine Aussageform ist, kann diese wieder mit einem Quantor verknüpft werden. Variablen, über die ein Quantor gesetzt ist, z.B. x bei x f(x) heißen gebundene Variablen. Alle anderen Variablen heißen freie Variablen. Eine Aussageform wird also durch Quantoren zu einer Aussage, wenn sie keine freien Variablen mehr enthält.
x y (x liebt y)"Es gibt keinen, der nicht irgend jemanden liebt":
¬(
x ¬ ( y (x liebt y)))"Nicht jeder liebt jemanden":
¬(
x y (x liebt y))"Es gibt jemanden, der nicht jemanden liebt":
x ¬( y (x liebt y))"Es gibt jemanden, der niemanden liebt":
x y ¬(x liebt y)"Nobody is perfekt":
¬(
x (x ist perfekt))"Jeder Menschen kann etwas nicht":
x y ¬(x kann y)x und y sind (natürliche) Zahlen:
x y (x ist kleiner als y) ist wahr (nehme für y den Wert x+1), aber
y x (x ist kleiner als y) ist falsch (nehme für x den Wert y+1).
x ((x ist gerade)v(x ist ungerade)) ist wahr, aber
(
x (x ist gerade))v(x (x ist ungerade)) ist falsch.
(
x (x ist gerade))( x (x ist ungerade)) ist wahr, aber
x ((x ist gerade)(x ist ungerade)) ist falsch.
x ((x ist gerade)=>(x+1 ist gerade)) ist falsch, aber
(
x (x ist gerade))=>(x (x+1 ist gerade)) ist wahr ("f=>f" ist w).
x ((x ist gerade)=>(x+1 ist gerade)) ist falsch, aber
(
x (x ist gerade))=>( x (x+1 ist gerade)) ist wahr ("w=>w" ist w).
"Goliath ist größer als David"
"Einer ist immer der Looser"
"Alle für einen, einer für alle"
"Guten Tag"
"Alles was schief gehen kann, geht schief"
Hier liegt der eigentliche Unterschied zur Aussagenlogik, denn für endliche Mengen lassen sich die Quantoren durch Junktoren ersetzen (x
{x1,x2,...,xn}): x f(x) <=> f(x1)f(x2)...f(xn) und x f(x) <=> f(x1)vf(x2)v...vf(xn)Sogesehen sind die Quantoren
und Verallgemeinerungen der Junktoren ^ und v. Deshalb wird auch oft als 
und als 
geschrieben. Um Klammern zu sparen sei noch bemerkt, dass Quantoren wie Klammern wirken.Obwohl keine Möglichkeit besteht, alle Aussagen der Prädikatenlogik mit Hilfe von Wahrheitstafeln auf "wahr" oder "falsch" zu prüfen, kann oft mit einfachen Methoden bestimmt werden, ob eine Aussage aus der Prädikatenlogik wahr ist. Eine strenge Formulierung dieser Vorgehensweise wird Prädikatenkalkül genannt. Neben all den Gesetzen aus der Aussagenlogik, die hier weiter angewendet werden können, brauchen wir nur noch eine Verallgemeinerung von Satz 14:
x f(x) => f(y)
Gemäß der Kontraposition gilt damit ¬f(y) => ¬
x f(x)
Nennt man ¬f(y) nun g(y) (also ist ¬g(x) <=> ¬¬f(x) <=> f(x)), erhält man
g(y) => ¬
x ¬g(x) und das ist nach Definition 8:
g(y) =>
x g(x)
Da f und damit auch g beliebige Prädikate waren, kann man auch schreiben:
f(y) =>
x f(x)
Die Negation von Definition 8 ergibt ¬
x f(x) <=> x ¬ f(x).
Zeige (Vorgehensweise wie oben), dass dann auch folgender Satz gilt:
¬
x g(x) <=> x ¬g(x)
Aussagen und Aussageformen nennen wir zusammenfassend Formeln. Wahre oder ableitbare Formeln sind wahre Aussagen und allgemeingültige Aussageformen, die als solche mit Hilfe der nun folgenden Methoden als wahre Aussagen oder allgemeingültige Aussageformen erkannt werden können. Es ist keineswegs selbstverständlich, dass das für alle wahren Aussagen und alle allgemeingültigen Aussageformen einer umfassenden Prädikatenlogik immer gelingt. Man kann auch Formeln angeben, die im folgenden Prädikatenkalkül nicht abgeleitet werden können, die aber auch nicht zu Widersprüchen im Kalkül führen, wenn man sie als wahr annimmt, z.B.
¬(¬
x f(x)¬x ¬f(x)).
Auch ist nicht klar, ob mit dieser Methode nicht auch falsche Sätze abgeleitet werden können. Wenigstens dieses Problem können wir ausschließen. Wesentlich ist dabei, dass wir hier die Subjektemenge nicht näher charakterisieren. Es ist klar, dass viele nicht allgemeingültige Aussagen bei hinreichend kleiner Subjektemenge für alle Subjekte dieser Menge gelten (so auch bei dem Beispiel).
Mit den nun folgenden Methoden lassen sich wahre Formeln ableiten. Viel schwieriger ist aber zu zeigen, dass eine konkrete Formel nicht ableitbar ist. Kontradiktorische Aussageformen bilden dabei eine Ausnahme, denn hier kann man versuchen, die Negation abzuleiten. Um trotzdem auch nicht ableitbare Formeln (sog. Trugschlüsse) als solche erkennen zu können, empfiehlt es sich in der Praxis, die syntaktische Ebene zu verlassen und die Formeln ihrer semantischen Bedeutung nach anzuwenden. Führt hier eine Formel zu einer falschen Aussage, so ist sie (als Formel) falsch, da sie falsch oder nicht allgemeingültig ist und wir benötigen nicht mehr den Kalkül um dies zu zeigen.
(Wendet man ¬(¬
x f(x)¬x ¬f(x)) auf die natürlichen Zahlen an, und ist f(x) die Aussageform, dass x eine gerade Zahl ist, so ist die Formel offensichtlich falsch. Das kann man jedoch nicht im Prädikatenkalkül erkennen.)Formeln sind syntaktisch betrachtet endliche Zeichenketten. Wir verwenden für Formeln nur Individuenvariablen (also Variablen für Subjekte), Aussagen- und Prädikatenvariablen, sowie ¬,
und ( ), denn jede Formel, die v, =>, <=> oder enthält, lässt sich gemäß der getroffenen Definitionen in Formeln umschreiben, die ohne diese Symbole auskommen. Formeln sind nur jene Zeichenketten, die gemäß 1 bis 5 rekursiv gebildet werden können:1. Jede Aussagenvariable ist eine Formel.
2. Jedes Prädikat über Individuenvariablen ist eine Formel.
3. Hat eine Formel A eine Variable x, und enthält die Formel keine Zeichenfolge
x, so ist (x A) eine Formel (existiert in einer Formel die Zeichenfolge x, so sagen wir, x ist gebunden).4. Ist A eine Formel, so ist ¬A eine Formel.
5. Sind A und B Formeln und sind alle Individuenvariablen, die in einer der Formeln gebunden sind, auch in der anderen Formel gebunden oder nicht vorhanden, so ist (AB) eine Formel.
Fünf Prinzipien sollen im Folgenden helfen, innerhalb der Prädikatenlogik wahre Aussagen zu finden:
1. Sind A und ¬(A¬B) (entspricht A=>B) wahre Formeln, so ist auch B eine wahre Formel.
2. Wird in einer wahren Formel eine Variable für eine Formel an jeder Stelle durch immer die gleiche Formel oder durch immer die gleiche Variable ersetzt, so ist die neue Zeichenkette, wenn sie eine Formel ist, auch eine wahre Formel.
3. Wird in einer wahren Formel eine freie Variable an jeder Stelle durch immer die gleiche Variable ersetzt, sodass auch die neue Variable frei ist, so ist die neue Zeichenkette auch eine wahre Formel.
4. Wird in einer wahren Formel eine gebundene Variable innerhalb des Bereiches, auf den sich der Quantor bezieht der die Variable bindet, durch immer die gleiche Variable ersetzt, sodass die gesamte Zeichenkette der ehemalig wahren Formel wieder eine Formel ist, so ist diese Formel wieder wahr.
5. Ist ¬(B¬f(x)) (entspricht B=>f(x)) eine wahre Formel und enthält die Formel B nicht x, so ist ¬(B¬
x f(x)) (entspricht B => x f(x)) eine wahre Formel.Die Prinzipien zur Erschließung wahrer Formeln übertragen sich natürlich gemäß der Definitionen auf die Verknüpfungen v, =>, <=> und
. Auch wenn diese Zeichen für den Kalkül nicht benötigt werden ist es sinnvoll, sie als Abkürzungen gemäß ihrer Definitionen zu verwenden. Insbesondere entspricht, falls die Formel B kein x enthält, x f(x) => B nach Anwendung der Kontraposition und Variablenersetzung gerade B => x f(x) und der Quantor bindet Variablen, da er eine Verkettung des Allquantors ist.
x f(x) => f(y) gilt nach Axiom 5. (Satz 23)
Gemäß Kontraposition gilt dann ¬f(y) => ¬
x f(x)
ersetze f(x) durch ¬g(x): ¬¬g(y) => ¬
x ¬f(x)
Nach Satz 9 und der Definition des Existenzquantors gilt also:
g(y) =>
x g(x)
ersetze g(x) durch f(x): f(y) =>
x f(x) (Satz 24)Nach zweimaliger Anwendung von Axiom 5 gilt:
x y f(x,y) => f(u,v)
Nach zweimaliger Anwendung von Prinzip 5 in geeigneter Reihenfolge gilt:
x y f(x,y) => v u f(u,v)
ersetze u durch x und v durch y (u und v sind gebunden, brauche also nur innerhalb des Bereiches zu ersetzen, der sich auf den Quantor bezieht):
x y f(x,y) => y x f(x,y) (Teil 1)
ersetze x durch u und y durch v und anschließend u durch y und v durch x:
y x f(x,y) => x y f(x,y) (Teil 2)
Nach Definition 5 sind Teil 1 und 2 gleichbedeutend mit:
x y f(x,y) <=> y x f(x,y) (Satz 25)Nach zweimaliger Anwendung von Definition 8
auf die Kontraposition zu Satz 25 gilt:
y x ¬f(x,y) <=> x y ¬f(x,y)
ersetze erst f(x,y) durch ¬g(x,y) (doppelte Verneinung entfällt)
und dann g(x,y) durch f(x,y):
y x f(x,y) <=> x y f(x,y)
Nach Satz 8 gilt dann:
x y f(x,y) <=> y x f(x,y) (Satz 26)(
x f(x))(x g(x)) <=> x (f(x)g(x)) (Satz 27)
(
x f(x))v( x g(x)) <=> x (f(x)vg(x)) (Satz 28)
Av(
x f(x)) <=> x (Avf(x)) (Satz 29)
A(
x f(x)) <=> x (Af(x)) (Satz 30)
(
x f(x))v(x g(x)) => x (f(x)vg(x)) (Satz 33)
x (f(x)g(x)) => ( x f(x))( x g(x)) (Satz 34)
(
x (f(x)=>g(x)))(x (g(x)=>h(x))) => x (f(x)=>h(x)) (Satz 35)
y x f(x,y) => x y f(x,y) (Satz 36)
Satz 23:
Satz 24:
Kommutativgesetze
Satz 25:
Satz 26:
Assoziativgesetze
Satz 27:
Satz 28:
Distributivgesetze
Satz 29:
Satz 30:
De-Morgan-Gesetze
Satz 31:
Satz 32:
Satz 33:
Satz 34:
Beweiskette
Satz 35:
Satz 36:
x f(x) => f(y)
f(y) =>
x f(x)
x y f(x,y) <=> y x f(x,y)
x y f(x,y) <=> y x f(x,y)
(
x f(x))(x g(x)) <=> x (f(x)g(x))
(
x f(x))v( x g(x)) <=> x (f(x)vg(x))
Av(
x f(x)) <=> x (Avf(x))
A(
x f(x)) <=> x (Af(x))
¬
x f(x) <=> x ¬ f(x)
¬
x f(x) <=> x ¬ f(x)
(
x f(x))v(x g(x)) => x (f(x)vg(x))
x (f(x)g(x)) => ( x f(x))( x g(x))
(
x (f(x)=>g(x)))(x (g(x)=>h(x))) => x (f(x)=>h(x))
y x f(x,y) => x y f(x,y)
"Alle Katzen sind weiß"
"Keine Katze ist schwarz"
"Es gibt keine Katze, die weiß ist"
"Es gibt keine Katze, die schwarz ist"
"Es gibt keine Katze, die nicht weiß ist"
"Es gibt keine Katze, die nicht schwarz ist"
"Es ist falsch, dass es keine Katze gibt, die nicht schwarz ist"
"Nicht alle Katzen sind schwarz"
"Alle Katzen sind nicht schwarz"
"Es gibt eine Katze die weiß ist"
"Es gibt eine Katze die nicht schwarz ist"
Zeige, dass die Umkehrungen von Satz 23 und 24 Trugschlüsse sind:
f(y) =>
x f(x) (Verallgemeinerung)
x f(x) => f(y) (Übertragung)Welche der folgenden Zeichenketten sind Formeln und welche dieser Formeln sind wahr:
¬
x f(x) => ¬f(y)
¬f(y) => ¬
x f(x)
x ((f(x) v g(x)) v g(y)
x (f(x)=>y g(y,z))
¬
x f(x) => x ¬f(x)
x ¬f(x) => ¬ x f(x)
x (f(x) v x)
((
x (f(x)=>g(x)))=>(f(y)=>g(y)))(f(y)=>g(y)) => x (f(x)=>g(x))
(
x g(x))( x f(x)=>x f(x)) => x y (h(x,y)g(y) => g(x))
((
x (f(x)=>g(x)))=>(f(y)=>g(y)))¬(f(y)=>g(y)) => ¬x (f(x)=>g(x))
x (f(x) v g(x)) v y h(x,y)
f(y) =>
x f(x)
x f(x) => f(y)
¬
x f(x) => ¬f(y)
¬f(y) => ¬
x f(x)
¬
x f(x) => x ¬f(x)
x ¬f(x) => ¬ x f(x)
x y f(x,y) => y x f(x,y)
((
x (f(x)=>g(x)))=>(f(y)=>g(y)))(f(y)=>g(y)) => x (f(x)=>g(x))Der erste Trugschluss ist der falsche Umkehrschluss zu Satz 23. Man könnte ihn "Verallgemeinerung" nennen, denn die Argumentation ist z.B. "Alle Christen sind Heuchler, denn ich kenne einen Christen, der ein Heuchler ist" oder "Stalin war ein Mörder, also sind alle Atheisten Mörder". Dagegen ist die Folgerung "Alle Atheisten verneinen die Existenz eines Gottes, also verneinte sie auch Stalin" nach Satz 23 richtig.
"Es gibt Menschen, die in den Himmel kommen, also komme auch ich in den Himmel" oder "Ich werde Millionär, denn das haben andere auch schon geschafft" sind Beispiele für den falschen Umkehrschluss zu Satz 24. Dagegen kann ein Millionär nach Satz 24 natürlich korrekt schließen "Ich habe es vom Tellerwäscher zu Millionär geschafft, also ist das möglich."
"Nicht alle Menschen müssen Steuern zahlen, also brauche ich auch keine Steuern zu zahlen." Dieser dritte Trugschluss ist nach Satz 20, der Kontraposition, äquivalent zum ersten Trugschluss.
"Ich schaffe es nicht, die 100 Meter in unter 10 Sekunden zu laufen, also schafft es auch kein anderer." Dieser vierte Trugschluss ist nach Satz 20 äquivalent zum zweiten Trugschluss.
Der fünfte Trugschluss ist wieder eine Art Verallgemeinerung. Ein Beispiel dafür wäre "Nicht jeder Mensch ist von Natur aus böse, also ist jeder Mensch von Natur aus gut." Hier wurde falsch verneint. Das Gegenteil der Aussage "Jeder Mensch ist von Natur aus böse" ist nach Satz 31 (De-Morgan) "Es gibt einen Menschen, der von Natur aus gut ist".
Das letzte Beispiel dient nun abgewandelt auch als Beispiel für die falsche Verneinung einer Existenz "Es gibt einen Menschen, der von Natur aus gut ist, also ist kein Mensch von Natur aus böse". Richtig wäre hier nach Satz 31 "Es gibt einen Menschen, der von Natur aus gut ist, also ist nicht jeder Mensch von Natur aus böse".
Eine naturalistische Ethik lässt sich mit "In jeder Gesellschaft gibt es ethische Prinzipien, also gibt es ethische Prinzipien, die für jede Gesellschaft gelten." nicht folgern (siebter Trugschluss). Setzt man dagegen die Existenz von allgemeingültigen Werten voraus, kann man diese nach Satz 36 auch auf jede Gesellschaft anwenden. Nach David Hume gibt es keine gültige Argumentation für ethische Wertungen, die nicht schon auf ethische Wertungen zurückgreift. Den Versuch ohne ethische Wertungen auf ethische Wertungen zu schließen, nennt man auch "naturalistischen Fehlschluss".
Naturgesetze haben die Form von Allaussagen:
x (f(x)=>g(x)). f(x) ist die Ursache und g(x) die Wirkung. Geht man davon aus, dass ein Naturgesetz wahr ist, so kann man nach Satz 23 in jedem konkreten Fall (konkretes x) von der Ursache auf die Wirkung schließen. Den Schluss, dass man bei einem wahren Naturgesetz von der Ursache auf die Wirkung schließen kann, nennt man Deduktion. Die Frage ist natürlich, woher man weiß, dass ein Naturgesetz wahr ist. Dazu wird das Naturgesetz überprüft - man wendet es also konkret an. Man kann jedoch durch solche Experimente, egal zu welcher Zeit oder an welchem Ort man sie auch immer wiederholt, nicht logisch auf die Wahrheit des Naturgesetzes schließen (Induktion), denn ((x (f(x)=>g(x)))=>(f(y)=>g(y)))(f(y)=>g(y)) => x (f(x)=>g(x)) ist ein Trugschluss. Dagegen lässt sich ein Naturgesetz durch ein einziges Experiment widerlegen, denn wenn wir x (f(x)=>g(x)) durch A und f(y)=>g(y) (y ist ja konkret, also f(y)=>g(y) eine Aussage) durch B ersetzen, so lässt sich ((x (f(x)=>g(x)))=>(f(y)=>g(y)))¬(f(y)=>g(y)) => ¬x (f(x)=>g(x)) auch schreiben als (A=>B)¬B=>¬A und das ist gerade Satz 22: Modus Tollens. Ein Naturgesetz wird also nicht durch Experimente bewiesen, sondern man prüft, ob es sich widerlegen lässt. Je mehr "erfolglose" Versuche man unternommen hat, ein Naturgesetz zu widerlegen, desto mehr geht man davon aus, dass es wahr ist. Aber bewiesen ist es damit nicht. Die Annahme, dass die Welt in der wir leben tatsächlich exakt der Euklidschen Geometrie gehorcht, ließ sich über Jahrtausende hinweg nicht widerlegen und es war nur vernünftig, diese Geometrie auch den Beschreibungen dieser Welt zugrunde zu legen. Dennoch stellte sich später heraus, dass das Universum nicht exakt zur Euklidschen Geometrie passt (oder umgekehrt). Die in den Naturwissenschaften übliche induktive Schlussweise beweist keine Naturgesetze, aber sie ist dennoch pragmatisch. Schließlich müssen wir von Gesetzmäßigkeiten ausgehen, wenn wir planen und leben wollen. Niemand kann letztlich garantieren, dass morgen die Sonne wieder aufgeht, aber solange wir keine Indizien für das Gegenteil haben, gehen wir davon aus, dass sie wieder aufgeht. Das Prinzip, falls keine widersprechenden Hinweise vorliegen, vom einfachsten Fall auszugehen, ist sinnvoll, auch wenn man nicht weiß, ob man dabei einen Fehler macht - denn wovon sollte man sonst ausgehen? Eine Verallgemeinerung dieses Prinzips wird oft Occhams Rasiermesser genannt, denn Occham wollte als Nominalist mit seiner Argumentation quasi die Anhänger der auf Platon zurückgehenden Realisten kahl scheren. Occham ging mit seiner Argumentation jedoch weit über den pragmatischen Ansatz hinaus. Die grundlegende Frage bleibt, ob diese Welt immer Naturgesetzen gehorcht, oder ob beispielsweise eine höhere Macht auch die Möglichkeit hat, zu intervenieren. Die Frage lässt sich, wie wir gesehen haben, nicht logisch zwingend beantworten. Tatsächlich gründet der Glaube an die Existenz ausnahmslos anwendbarer Naturgesetze auf einer philosophischen Sichtweise, dem Naturalismus, und nicht auf Logik.
"Jeder widerspruchsfreie Kalkül, der es erlaubt, von den natürlichen Zahlen zu sprechen, enthält unendlich viele Aussagen, die in diesem Kalkül weder bewiesen noch widerlegt werden können."
Für den Nachweis des Unvollständigkeitssatzes und für die einzelnen Nachweise, welcher Kalkül nun noch widerspruchsfrei und vollständig ist und welcher nicht mehr, sei auf die entsprechende Literatur verwiesen. Wir werden aber ein weiteres sehr bekanntes und bedeutendes Beispiel zu dieser Problematik am Anfang der Mengenlehre sehen, die sogenannte Russellsche Antinomie. Um sie zu umgehen müssen wir wieder Unvollständigkeit in Kauf nehmen.
Doch zumindest den Nachweis der Widerspruchsfreiheit des Prädikatenkalküls können und sollten wir erbringen. Ein Kalkül nennen wir widerspruchsfrei, wenn die Negation einer ableitbaren Formel nicht abgeleitet werden kann.
x f(x), x f(x) und Aussageformen f(x,y,...) (mit Einsetzungen) als Aussage A verstehen. Entsprechend übertragen sich auch die Prinzipien. Prinzip 1 entspricht Satz 21, Prinzip 2 ändert auf der Ebene der Aussagenlogik nur dann etwas, wenn eine Formeln eingesetzt wird, dies entspricht aber nichts anderem, als die Anwendung der Gesetze der Aussagenlogik auf zusammengesetzte Aussagen. Prinzip 3 und 4 ändern wiederum nichts an den entsprechenden Aussagen der Aussagenlogik und Prinzip 5 (B=>A)=>(B=>A) ist wieder ein Satz gemäß der Aussagenlogik. Jede ableitbare Formel des Prädikatenkalküls entspricht also einer wahren Aussage in der Aussagenlogik, deren Widerspruchsfreiheit sich demnach auf das Prädikatenkalkül überträgt.
x f(x) wird in der Mathematik auch manchmal umschrieben mit "es gibt ein x, welches f erfüllt". Damit ist also nicht gemeint, dass es nur ein einziges x gibt. Will man dagegen aussagen, dass es mindestens ein und höchstens ein solches x gibt, so sagt man "es gibt genau ein...".Um "es gibt genau ein..." mit Hilfe von Quantoren schreiben zu können, brauchen wir noch eine konkrete Aussage, nämlich die der Gleichheit. Das Symbol ist das bekannte Zeichen =. "Es gibt genau ein x, welches f erfüllt" können wir nun schreiben als
(
x f(x))(x y ((f(x)f(y)) => x=y) oder als Kurzschreibweise dafür: ! x f(x)
Sind keine Verwechslungen zu befürchten, wird in der Mathematik statt der Klammern nach einem Quantor oft auch ein Doppelpunkt verwendet. Zudem werden gleiche Quantoren, die hintereinander stehen, oft durch einen ersetzt.
x y ((f(x)f(y)) => x=y) wird also auch als x,y : f(x)f(y) => x=y geschrieben.Bei Aussagen haben wir immer angenommen, dass Subjekte Elemente einer Menge sind. Auf welche Subjekte sich eine Formel bezieht hängt also von der zugrundeliegenden Menge ab. Da die zugrundeliegende Menge also sehr wesentlich ist, werden die Mengen meist direkt in die logische Formel geschrieben. Auch einschränkende Bedingungen an die Menge werden oft in die Formel geschrieben. Diese einschränkenden Bedingungen sind selbst Aussageformen, sie sind aber dennoch nicht Bestandteil der logischen Formel, sondern dessen zugrundeliegender Subjektemenge.
Eine Formel wie
x,y IR, y>0 nIN: ny>x
ist nichts weiter wie die Formel
x y n (ny>x) mit x, y und n aus den in der vorherigen Formel beschriebenen Subjektmengen IR, IR+ und IN.
Der Nachfolgekurs Mengenlehre ist noch in Arbeit...
Auch ein Rhetorikkurs ist in Arbeit...
(Argumente werden meist nicht geglaubt weil sie logisch, sondern weil sie geschickt sind)
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