Wirkliche Probleme


Was machen Mathematiker eigentlich. Die Frage hört sich einfacher an als sie ist. Denn die Antwort "Mathematik" führt zu der Frage, was Mathematik ist. Die meisten Menschen haben aus ihrer Schulzeit einen stark kalkülbetonten Eindruck von Mathematik, während alle großen Mathematiker in der Geschichte vor allem kreativ arbeiteten. "Mathematik ist das, was Mathematiker tun" ist wohl die vernünftigste Antwort auf die Frage nach der Mathematik, denn Mathematik existiert vor allem in den Köpfen der Mathematiker (ob sie nur dort existiert, darüber wird zwischen Platonisten und Konstruktivisten vortrefflich gestritten). Fragt man nun einen Mathematiker, woran er so den ganzen Tag arbeitet, so versteht kaum jemand die Antwort, manchmal noch nicht einmal der Kollege in Zimmer daneben. Trotzdem wurde natürlich versucht, sich dem Thema zu nähern. Einer der gelungensten Versuche einer Klärung stellt das Buch "Erfahrung Mathematik" von Philip J. Davis und Reuben Hersh dar. Ich möchte nur eine kleine Kostprobe aus dem Bereich der Zahlentheorie geben, da hier viele der aktuellen Fragen für den Laien verständlich sind.

Zwei kleine Knobelaufgaben:

Die Schule liefert zwar das nötige Vorwissen, wer sich jedoch nicht mehr sicher ist, findet hier eine kurze Erklärung der wichtigsten Begriffe:
Natürliche Zahlen sind die Zahlen, mit denen man zählt, also 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
Primzahlen sind natürliche Zahlen, die genau zwei Teiler haben. 12 kann man z.B. durch 1, 2, 3, 4, 6 und 12 teilen (so dass das Ergebnis wieder eine natürliche Zahl ist), die 1 nur durch 1. Die Zahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... haben dagegen genau zwei Teiler (die 1 und sich selbst) und sind daher Primzahlen.
Primzahlenpärchen sind zwei Primzahlen, zwischen denen genau eine Zahl liegt, die keine Primzahl ist, also z.B. 3; 5 oder 5; 7 oder 11; 13 oder 17; 19.
Gerade Zahlen sind Zahlen, die durch zwei teilbar sind, also 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...

Zeige:

1) Das Primzahlenpärchen aus 3 und 5 ist das einzige Primzahlenpärchen, bei dem die Zahl zwischen den Primzahlen nicht durch 6 teilbar ist.

Lösung

2) Die 2 ist die einzige gerade Zahl, die nicht Summe zweier Primzahlen ist (z.B. 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, 10=3+7 oder 10=5+5).

Lösung